தலைப்பு: TNPSC குரூப் 4 – HCF, LCM முழுமையான சுருக்கக் குறிப்புகள்: சூத்திரங்கள், விரைவு முறைகள், தீர்க்கப்பட்ட கணக்குகள்!
TNPSC குரூப் 4 திறனறிவுப் பாடத்திட்டத்தில் HCF மற்றும் LCM இடம்பெறுகின்றன. நேற்றைய/Day 01 சதவீதப் பாடத்தைத் தொடர்ந்து, இன்று காரணிகள், மடங்குகள், பகா எண்கள், HCF–LCM கணக்கிடும் முறைகள் மற்றும் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளைப் படிப்போம்.
1. காரணி மற்றும் மடங்கு ஒரு எண்ணை மீதியின்றி வகுக்கும் எண் அதன் காரணி (Factor). 18-இன் காரணிகள்: 1, 2, 3, 6, 9, 18. ஒரு எண்ணை 1, 2, 3… ஆகிய முழு எண்களால் பெருக்கக் கிடைப்பவை அதன் மடங்குகள் (Multiples). 6-இன் மடங்குகள்: 6, 12, 18, 24, 30…
2. பகா எண்கள் மற்றும் பகு எண்கள் 1-ஐ விடப் பெரிய, 1 மற்றும் தன்னையே காரணிகளாகக் கொண்ட எண் பகா எண் (Prime). எ.கா.: 2, 3, 5, 7, 11. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட நேர்மறைக் காரணிகள் உள்ள எண் பகு எண் (Composite). எ.கா.: 4, 6, 8, 9. 1 என்பது பகா எண்ணும் அல்ல; பகு எண்ணும் அல்ல. 2 மட்டுமே இரட்டைப் பகா எண்.
3. வகுபடும் விதிகள் – விரைவான நினைவுக் குறிப்பு 2: கடைசி இலக்கம் இரட்டைப்படை (0, 2, 4, 6, 8). 3: இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3-ஆல் வகுபட வேண்டும். 4: கடைசி இரண்டு இலக்கங்களால் ஆன எண் 4-ஆல் வகுபட வேண்டும். 5: கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5. 6: 2 மற்றும் 3 இரண்டாலும் வகுபட வேண்டும். 8: கடைசி மூன்று இலக்கங்களால் ஆன எண் 8-ஆல் வகுபட வேண்டும். 9: இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 9-ஆல் வகுபட வேண்டும். 10: கடைசி இலக்கம் 0. 11: மாறிமாறி உள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகளின் வேறுபாடு 0 அல்லது 11-இன் மடங்காக இருக்க வேண்டும்.
4. மீப்பெரு பொதுவகுத்தி (HCF / GCD) இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை மீதியின்றி வகுக்கும் மிகப் பெரிய பொதுக் காரணி HCF. எ.கா.: 12 மற்றும் 18-இன் பொதுக் காரணிகள் 1, 2, 3, 6. எனவே HCF = 6. பயன்பாடு: கயிறுகளை அதிகபட்ச சம நீளத்தில் வெட்டுதல்; பொருட்களை அதிகபட்ச ஒரே அளவுள்ள குழுக்களாகப் பிரித்தல்.
5. மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் பொதுமடங்குகளில் மிகச் சிறிய நேர்மறை எண் LCM. எ.கா.: 4-இன் மடங்குகள் 4, 8, 12…; 6-இன் மடங்குகள் 6, 12…; எனவே LCM = 12. பயன்பாடு: மணிகள்/விளக்குகள் மீண்டும் ஒரே நேரத்தில் ஒலிக்கும் அல்லது இயங்கும் நேரத்தைக் கண்டுபிடித்தல்.
6. பகா எண் காரணிப்படுத்தல் முறை கொடுக்கப்பட்ட எண்களைப் பகா எண்களின் பெருக்கலாக எழுதவும். HCF: எல்லா எண்களிலும் பொதுவாக உள்ள பகா காரணிகளின் குறைந்த அடுக்குகளைப் பெருக்கவும். LCM: எல்லா எண்களிலும் வரும் ஒவ்வொரு பகா காரணியின் அதிகபட்ச அடுக்குகளைப் பெருக்கவும்.
தீர்க்கப்பட்ட கணக்கு 1 – HCF(48, 72) 48 = 2⁴ × 3; 72 = 2³ × 3². பொதுக் காரணிகளின் குறைந்த அடுக்குகள்: 2³ × 3 = 8 × 3. விடை: HCF = 24.
தீர்க்கப்பட்ட கணக்கு 2 – LCM(12, 18, 30) 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²; 30 = 2 × 3 × 5. அதிகபட்ச அடுக்குகள்: 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5. விடை: LCM = 180.
7. தொடர் வகுத்தல் / யூக்ளிட் முறை – HCF பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணால் வகுத்து மீதியைப் பெறவும். அடுத்தடுத்து வகுத்து, மீதி 0 ஆகும்போது கடைசியாக 0 அல்லாத மீதியே HCF.
தீர்க்கப்பட்ட கணக்கு 3 – HCF(252, 198) 252 = 198 × 1 + 54 198 = 54 × 3 + 36 54 = 36 × 1 + 18 36 = 18 × 2 + 0 விடை: HCF = 18.
8. HCF–LCM முக்கியத் தொடர்பு இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களுக்கு மட்டும்: முதல் எண் × இரண்டாம் எண் = HCF × LCM. எ.கா.: 24 மற்றும் 36; HCF = 12; LCM = 72. 24 × 36 = 864; 12 × 72 = 864. இந்த எளிய பெருக்கல் விதியை மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தக் கூடாது.
9. சிறப்பு விதிகள் இரண்டு எண்களும் ஒன்றுக்கொன்று பகா (Co-prime) எனில் HCF = 1; LCM = அவற்றின் பெருக்கல். அடுத்தடுத்த இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களின் HCF = 1. அடுத்தடுத்த இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களின் HCF = 2. ஒரு எண் மற்றொன்றை முழுவதுமாக வகுத்தால், HCF = சிறிய எண்; LCM = பெரிய எண். HCF எந்தக் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணையும் விடப் பெரியதாக இருக்காது; LCM எந்தக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்மறை எண்ணையும் விடச் சிறியதாக இருக்காது.
10. வார்த்தைக் கணக்குகள் – சரியான முறையைத் தேர்ந்தெடுப்பது ‘அதிகபட்ச சம அளவு’, ‘மிகப் பெரிய ஒரே நீளம்’, ‘மீதியின்றிப் பிரித்தல்’ என்றால் பொதுவாக HCF. ‘மீண்டும் ஒரே நேரத்தில்’, ‘குறைந்தபட்ச பொதுநேரம்’, ‘அனைத்தாலும் வகுபடும் சிறிய எண்’ என்றால் பொதுவாக LCM.
தீர்க்கப்பட்ட கணக்கு 4 – கயிறு 84 மீட்டர், 126 மீட்டர் நீளமுள்ள இரண்டு கயிறுகளையும் வீணாக்காமல் ஒரே நீளமுள்ள மிகப் பெரிய துண்டுகளாக வெட்ட வேண்டும். HCF(84,126) = 42. ஒவ்வொரு துண்டும் 42 மீட்டர். துண்டுகளின் எண்ணிக்கை = 84/42 + 126/42 = 2 + 3 = 5. விடை: 42 மீட்டர் நீளத்தில் மொத்தம் 5 துண்டுகள்.
தீர்க்கப்பட்ட கணக்கு 5 – மணிகள் 12, 18, 30 விநாடிகளுக்கு ஒருமுறை ஒலிக்கும் மூன்று மணிகள் இப்போது ஒன்றாக ஒலித்தால், அடுத்த முறை எப்போது ஒன்றாக ஒலிக்கும்? LCM(12,18,30) = 180 விநாடிகள் = 3 நிமிடங்கள். விடை: 3 நிமிடங்கள் கழித்து.
11. தேர்வில் தவிர்க்க வேண்டிய தவறுகள் HCF-க்கு அதிகபட்ச அடுக்குகளையும் LCM-க்கு குறைந்த அடுக்குகளையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டாம்; அது தலைகீழ். பொதுவான காரணி இல்லாத எண்களின் HCF = 1; 0 அல்ல. ‘ஒரே நேரத்தில் மீண்டும்’ என்றால் HCF அல்ல, LCM. இரண்டு எண்களுக்கான HCF × LCM தொடர்பை மூன்று எண்களுக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.
12. ஒரு நிமிட மீள்பார்வை HCF = மிகப் பெரிய பொதுக் காரணி; LCM = மிகச் சிறிய நேர்மறைப் பொதுமடங்கு. HCF: பொதுப் பகா காரணிகளின் குறைந்த அடுக்குகள். LCM: எல்லாப் பகா காரணிகளின் அதிக அடுக்குகள். இரண்டு எண்களுக்கு: எண்களின் பெருக்கல் = HCF × LCM. அதிகபட்ச சம நீளம் → HCF; மீண்டும் ஒன்றாக நிகழ்தல் → LCM.
புத்தக மற்றும் புத்தகப் பயிற்சி முன்னேற்றம் தொடர்புடைய பாடம்: தமிழ்நாடு சமச்சீர் கல்வி 6ஆம் வகுப்பு கணிதம், பருவம் 2, அலகு 1 ‘எண்கள்’ (Factors and Multiples / HCF / LCM). பயிற்சி 1.2 என இரண்டாம் நிலைத் துணை ஆதாரங்களில் அடையாளம் காணப்பட்டுள்ளது. மூல அரசுப் பாடப்புத்தகத்தின் 2026–27 பதிப்பும் முழுப் பயிற்சி வினாக்களும் இன்னும் நேரடியாகச் சரிபார்க்கப்படவில்லை. எனவே சரிபார்க்கப்பட்ட புத்தகப் பயிற்சி நிறைவு: 0; மொத்த வினாக்கள்: உறுதிசெய்யப்படவில்லை. எந்தக் கணக்கும் இங்கு ‘அசல் புத்தகப் பயிற்சி வினா’ என்று குறிக்கப்படவில்லை.
இன்றைய தலைப்பு முடிந்தது: HCF மற்றும் LCM அடிப்படைகள், முறைகள், முக்கியப் பயன்பாடுகள். மீதமுள்ள திறனறிவுப் பாடத்திட்டத் தலைப்புகள் அடுத்தடுத்த நாட்களில் கற்பிக்கப்படும். இன்று இரவு 7 மணிக்கான 15 வினா பயிற்சியில் இத்தலைப்பிலிருந்து 2 வினாக்கள் இடம்பெறும்.
ETN News – தினமும் கற்போம், தொடர்ந்து பயிற்சி செய்வோம்! #TNPSC #TNPSCGroup4 #Aptitude #HCF #LCM #ETNNews
