தலைப்பு: மீப்பெரு பொதுக்காரணி (HCF), மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) – முழுக் குறிப்புகள் மற்றும் தீர்க்கப்பட்ட கணக்குகள்
1. காரணி, மடங்கு என்றால் என்ன? ஒரு எண்ணை மீதமின்றி வகுக்கும் எண் அதன் காரணி (Factor). 12-ன் காரணிகள்: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ஒரு எண்ணை 1, 2, 3... ஆகியவற்றால் பெருக்கிக் கிடைப்பவை அதன் மடங்குகள் (Multiples). 6-ன் மடங்குகள்: 6, 12, 18, 24... பகா எண் (Prime): 1 மற்றும் தன்னையே காரணிகளாகக் கொண்ட, 1-ஐவிடப் பெரிய இயல் எண். 2 மட்டுமே இரட்டைப் பகா எண். 1 பகா எண்ணும் அல்ல; பகு எண்ணும் அல்ல. பகா காரணிப்படுத்துதல் (Prime factorisation): ஓர் எண்ணைப் பகா எண்களின் பெருக்கலாக எழுதுதல். 60 = 2² × 3 × 5.
2. மீப்பெரு பொதுக்காரணி – மீ.பெ.கா. (HCF) இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை மீதமின்றி வகுக்கும் பொதுக்காரணிகளில் மிகப்பெரியது மீ.பெ.கா. எடுத்துக்காட்டு: 12-ன் காரணிகள் 1,2,3,4,6,12; 18-ன் காரணிகள் 1,2,3,6,9,18. பொதுக்காரணிகள் 1,2,3,6. ஆகவே HCF(12,18)=6. பகா காரணிப்படுத்தல் முறையில் எல்லா எண்களிலும் பொதுவாக உள்ள பகா காரணிகளின் குறைந்த அடுக்குகளைப் பெருக்க வேண்டும்.
3. மீச்சிறு பொது மடங்கு – மீ.சி.ம. (LCM) கொடுக்கப்பட்ட எல்லா எண்களாலும் மீதமின்றி வகுபடும் மிகச்சிறிய நேர்ம முழு எண் மீ.சி.ம. எடுத்துக்காட்டு: 4-ன் மடங்குகள் 4,8,12,16...; 6-ன் மடங்குகள் 6,12,18... ஆகவே LCM(4,6)=12. பகா காரணிப்படுத்தல் முறையில் தோன்றும் எல்லாப் பகா காரணிகளின் அதிக அடுக்குகளைப் பெருக்க வேண்டும்.
4. வேகமாக வகுபடுமா என அறியும் விதிகள் 2 – கடைசி இலக்கம் இரட்டைப்படை; 3 – இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3-ஆல் வகுபடும்; 4 – கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4-ஆல் வகுபடும்; 5 – கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5; 6 – 2 மற்றும் 3 இரண்டாலும் வகுபடும்; 8 – கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் 8-ஆல் வகுபடும்; 9 – இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 9-ஆல் வகுபடும்; 10 – கடைசி இலக்கம் 0; 11 – மாற்று இட இலக்கக் கூட்டுத்தொகைகளின் வித்தியாசம் 0 அல்லது 11-ன் மடங்கு.
5. முக்கியச் சூத்திரங்கள் மற்றும் விரைவு வழிகள் இரண்டு நேர்ம முழு எண்களுக்கு மட்டும்: முதல் எண் × இரண்டாம் எண் = HCF × LCM. ஒரு எண் மற்றொரு எண்ணை மீதமின்றி வகுத்தால், HCF = சிறிய எண்; LCM = பெரிய எண். இரு எண்களின் HCF = 1 என்றால் அவை ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள் (co-prime). அப்போது LCM = இரு எண்களின் பெருக்கல். அடுத்தடுத்த இரண்டு இயல் எண்களின் HCF = 1. அடுத்தடுத்த இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களின் HCF = 2. HCF என்பது கொடுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எண்ணைவிடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது. LCM என்பது மிகப் பெரிய எண்ணைவிடச் சிறியதாக இருக்க முடியாது.
6. படிப்படியாகத் தீர்க்கப்பட்ட கணக்குகள் கணக்கு 1 – 84, 126-ன் HCF: 84 = 2² × 3 × 7; 126 = 2 × 3² × 7. பொதுவான குறைந்த அடுக்குகள்: 2 × 3 × 7 = 42. விடை: HCF = 42.
கணக்கு 2 – 18, 24, 30-ன் LCM: 18 = 2 × 3²; 24 = 2³ × 3; 30 = 2 × 3 × 5. அதிக அடுக்குகள்: 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360. விடை: LCM = 360.
கணக்கு 3 – இரண்டு எண்களின் HCF = 12, LCM = 180. ஓர் எண் 36. மற்றொன்று? 36 × மற்ற எண் = 12 × 180 = 2160. மற்ற எண் = 2160 ÷ 36 = 60. சரிபார்ப்பு: HCF(36,60)=12; LCM(36,60)=180. விடை: 60.
கணக்கு 4 – 48 பேனாக்களையும் 72 பென்சில்களையும் மீதமின்றி ஒரே மாதிரியான அதிகபட்சப் பொட்டலங்களாகப் பிரிக்க வேண்டும். எத்தனை பொட்டலங்கள்? HCF(48,72)=24. ஒவ்வொரு பொட்டலத்திலும் 48÷24=2 பேனாக்கள்; 72÷24=3 பென்சில்கள். விடை: 24 பொட்டலங்கள்.
கணக்கு 5 – மூன்று மணிகள் முறையே 12, 18, 30 வினாடிகளுக்கு ஒருமுறை ஒலிக்கின்றன. இப்போது ஒன்றாக ஒலித்தால் மீண்டும் எப்போது ஒன்றாக ஒலிக்கும்? 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²; 30 = 2 × 3 × 5. LCM = 2² × 3² × 5 = 180 வினாடிகள் = 3 நிமிடங்கள். விடை: 3 நிமிடங்களுக்குப் பிறகு.
கணக்கு 6 – 12, 18, 30 ஆகியவற்றால் மீதமின்றி வகுபடும் மிகப்பெரிய நான்கு இலக்க எண்? LCM(12,18,30)=180. 9999 ÷ 180 = 55 முழு மடங்குகள் (மீதி உண்டு). 180 × 55 = 9900. விடை: 9900.
கணக்கு 7 – 8, 12, 15 ஆகியவற்றால் வகுக்கும்போது ஒவ்வொரு முறையும் மீதி 3 தரும், 15-ஐவிடப் பெரிய மிகச்சிறிய எண்? LCM(8,12,15)=120. தேடும் எண் = 120 + 3 = 123. சரிபார்ப்பு: 123-ஐ 8, 12, 15-ஆல் வகுத்தாலும் மீதி 3. விடை: 123.
7. எந்தக் கேள்விக்கு எந்த முறை? ‘அதிகபட்ச சம அளவுப் பொட்டலங்கள்’, ‘மிகப்பெரிய அளவுக் கலன்’, ‘மிக நீளமான சம துண்டுகள்’ போன்ற கேள்விகளில் பொதுவாக HCF. ‘மீண்டும் ஒன்றாகச் சந்திக்கும் நேரம்’, ‘ஒரே நேரத்தில் ஒலித்தல்’, ‘அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்’ போன்ற கேள்விகளில் பொதுவாக LCM. முக்கியம்: வார்த்தையை மட்டும் பார்த்து முடிவு செய்யாமல் கணக்கின் நிபந்தனையைச் சரிபார்க்கவும்.
8. தேர்வில் தவிர்க்க வேண்டிய பிழைகள் HCF-க்கு குறைந்த பகா அடுக்குகள்; LCM-க்கு அதிக பகா அடுக்குகள். இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் சூத்திரத்தை மூன்று எண்களுக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தக் கூடாது. 1 என்பது பகா எண் அல்ல. ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள் தனித்தனியாகப் பகா எண்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை: 8, 9 ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்.
9. ஒரு நிமிட மீள்பார்வை HCF – மிகப்பெரிய பொதுக்காரணி. LCM – மிகச்சிறிய பொது மடங்கு. 12,18: HCF=6; LCM=36. இரண்டு எண்கள்: பெருக்கல் = HCF × LCM. அடுத்தடுத்த இயல் எண்கள்: HCF=1. மீண்டும் ஒன்றாக நிகழ்வது: பெரும்பாலும் LCM. அதிகபட்ச சமமான பிரிவுகள்: பெரும்பாலும் HCF.
10. பாடநூல், புத்தகப் பயிற்சி முன்னேற்றம் பாடநூல்: தமிழ்நாடு சமச்சீர் கல்வி, 6ஆம் வகுப்பு கணிதம், இரண்டாம் பருவம், அலகு 1 – எண்கள் (Numbers); மீ.பெ.கா., மீ.சி.ம. தொடர்புடைய பயிற்சி 1.2. 2025 பதிப்பின் பொதுவில் கிடைக்கும் உரைமாற்றத்தில் பயிற்சி 1.2-இன் முதன்மை வினா எண்கள் 1–13 மற்றும் அவற்றின் சில துணைவினாக்கள் அடையாளம் காணப்பட்டுள்ளன. 1.3-இல் கலப்புப் பயிற்சிகளும் உள்ளன. ஆனால் அரசுப் பாடநூலின் மூலப் PDF மற்றும் 2026–27 பதிப்பின் முழுமை இன்னும் நேரடியாகச் சரிபார்க்கப்படவில்லை; source not yet verified. இன்றைய 7 கணக்குகளும் கற்பித்தலுக்காக உருவாக்கப்பட்ட சொந்த எடுத்துக்காட்டுகள். இவை புத்தகப் பயிற்சி வினாக்களாகவோ TNPSC முந்தைய ஆண்டு வினாக்களாகவோ குறிக்கப்படவில்லை. சரிபார்க்கப்பட்ட புத்தகப் பயிற்சிகள் முடிக்கப்பட்டவை: 0. பயிற்சி 1.2, 1.3 முழு எண்ணிக்கையும் உறுதிசெய்யப்பட வேண்டியுள்ளது. சரிபார்க்கப்பட்ட பின் இரவு 7 மணி கூடுதல் பயிற்சித் தொகுதிகளில் அனைத்து பொருத்தமான வினாக்களும் படிப்படியாகச் சேர்க்கப்படும்.
11. மீள்பார்வைத் திட்டம் இன்றைய பாடத்தை 18, 20, 24, 31 அக்டோபர் 2026 அன்று 1/3/7/14 நாள் இடைவெளியில் மீள்பார்க்கவும். நேற்று படித்த விகிதம்–விகிதசமம் பாடத்தை இன்று சுருக்கமாக மீள்பார்க்கவும். இன்று இரவு 7 மணிக்கு பொதுத்தமிழ் 8, பொது அறிவு 5, திறனறிவு 2 என 15 முக்கிய வினாக்கள் வழங்கப்படும்.
